統計分析

.title[
# 統計分析
]
.subtitle[
## 第二講
]
.author[
### 王寧寧， Ph.D
]
.institute[
### <a href="mailto:oliningning@qq.com" class="email">oliningning@qq.com</a>
]
.date[
### 2022/11/1
]

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## 主要内容

- ###參數估計
- ###假設檢驗
- ###t檢驗
- ###方差分析

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##統計推斷

- ### 參數估計
  - ###點估計
  - ###區間估計

- ### 假設檢驗

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class: inverse, center, middle
## 參數估計
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## 基本統計概念

-  ###總體： `$X\sim N(\mu,\sigma^2)$`
-  ###樣本： `$X_1,X_2,\cdots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$`
-  ###統計量： `$\bar{X},S$` （點估計）
-  ###如何估計 `$\mu$` ?
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-  ###用樣本均值 `$\bar{X}$` 估計 `$\mu$`

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-  ###樣本均值的標准差（標準誤）：   `$S_\bar{X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$`

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## 抽樣誤差

- ### 樣本均值的標準差也稱爲**抽樣誤差**
- ### 抽樣誤差的大小反映 `$\bar{X}$`估計參數 `$\mu$`的波動
- ### `$S_\bar{X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$`
- ### 實際應用中： `$S_\bar{X}=\frac{S}{\sqrt{n}}$`

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## 【例】求140名成年男子紅細胞數目的抽樣誤差（標准誤）
- ### `$\bar{X}=4.77$`， `$S=0.38$`
- ### `$S_\bar{X}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{0.38}{\sqrt{140}}=0.032$`
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## 可信區間（區間估計）

- ### 點估計： `$\hat{\mu}=\bar{X}$`
- ### 區間估計： 按照預先給定的概率，計算出一個區間，能夠包含 `$\mu$`
- ### 事先給定的概率稱爲可信度，計算的區間成爲可信區間（confidence interval, CI）
- ### 一般求95%的區間估計

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class:center
## `$\mu$`的區間估計（假定 `$\sigma$`已知情形）

###$$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$
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<img src="fig/fig13.png" width="65%" style="display: block; margin: auto;" />
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class:center
###$$P(\mu-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\bar{X}<\mu+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0.95$$
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###  `$\sigma$`已知時， `$\mu$` 的區間估計：$$(\bar{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$$

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###  `$\sigma$`未知時，是否就是：
### `$$(\bar{X}-1.96\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+1.96\frac{S}{\sqrt{n}})$$`

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###$$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

<img src="fig/fig01.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
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### `$$P(-t_{0.05/2}<\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{0.05/2}=0.95$$`

### `$$P(\bar{X}-t_{0.05/2}S_{\bar{X}}<\mu<\bar{X}+t_{0.05/2}S_{\bar{X}})=0.95$$`
### `$\mu$`的95%可信區間：
### `$$(\bar{X}-t_{0.05/2}S_{\bar{X}}，\bar{X}+t_{0.05/2}S_{\bar{X}})$$`
### 大樣本時： `$t_{0.05/2}$`約等於 `$1.96(Z_{0.05/2})$`

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## 【例】求上例中，成年男子紅細胞數總體均值的95%可信區間。 `$$\bar{X}=4.77， S=0.38$$`

- ### 方法壹：利用t分佈，
### `$$\bar{X}-t_{0.05/2}S_{\bar{X}}=4.77-1.98\times 0.03=4.71$$`
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### `$$\bar{X}+t_{0.05/2}S_{\bar{X}}=4.77+1.98\times 0.03=4.83$$`

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##【例續】

- ###方法貳：

### `$$\bar{X}-z_{0.05/2}S_{\bar{X}}=4.77-1.96\times 0.03=4.71$$`
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### `$$\bar{X}+z_{0.05/2}S_{\bar{X}}=4.77+1.96\times 0.03=4.83$$`

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## 假設檢驗

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## 假設檢驗的基本原理

- ### 關於總體參數的推斷
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- ### 小概率事件原理

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- ### 例：已知成年男子紅細胞數目均值為 `$4.75\times$` `$10^{12}$`/L，某地抽取140個樣本，問此地的成年男子紅細胞數目是否達到均值水平？

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## 基本步驟

- ###1、 建立檢驗假設，確定檢驗水準 
  - #### `$H_0$`: `$\mu_0=4.75$` 此地的成年男子紅細胞數目的總體均值為4.75
  - #### `$H_1$`: `$\mu_0\ne 4.75$`
  - #### `$\alpha = 0.05$`
- ###2、 計算檢驗統計量：$$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
  
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- ###2、續：帶入140樣本信息，可以算出： `$$T=0.823\sim t(139)$$`
- ###3、計算P值，做出結論
  - #### P值：檢驗統計量不利於原假設的概率
  - #### P=0.412大於0.05，在0.05的檢驗水平下，不能拒絕原假設
  - #### 結論：不能拒絕此地的成年男子紅細胞數目已達到均值水平
<img src="fig/fig02.png" width="85%" style="display: block; margin: auto auto auto 0;" />

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class:  inverse, center, middle

#t檢驗

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## t檢驗的分類

- ### 單樣本的t檢驗
- ### 配對樣本t檢驗
- ### 獨立樣本t檢驗

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## 配對樣本t檢驗

>### 【例】某项研究评估咖啡因对运动者的心肌血流量的影响，先后测定了12名男性志愿者饮用咖啡前后运动状态下的心肌血流量，数据如下表所示，问饮用咖啡前后运动者的心肌血流量有无差异。

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## 【例】續
<img src="fig/fig05.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" />

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## 配對t檢驗步驟

- ### 建立檢驗假設，確定檢驗水準
  - #### `$H_0$`: `$\mu_d=0$` 飲用咖啡前後運動者的平均心肌血流量差異的總體均值為零
  - #### `$H_1$`: `$\mu_d\ne 0$` 飲用咖啡前後運動者的平均心肌血流量差異的總體均值不為零
  - #### `$\alpha=0.05$`  
- ### 計算檢驗統計量 `$$T=\frac{\bar{d}-\mu_d}{S_{\bar d}}=3.74\sim t(11)$$`

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## 【續】

- ### 計算P值，做出結論
  - #### P=0.003小於0.05，在0.05的檢驗水平下，拒絕原假設，接受備擇假設
  - #### 結論：兩種環境中運動者的心肌血流量有差異，引用前大於引用后

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## 獨立樣本t檢驗

>###【例】某項研究評估低氧環境（模擬高原環境）對運動者的心肌血流量的影響，將17名男性志願者隨機分成兩組，分別在正常含氧環境（正常組）和低氧環境（低氧組）中測定運動後的心肌血流量，數據如下表所示，問兩種環境中運動者的心肌血流量有無差異。

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## 【例】續

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## t檢驗的假定

- ### 樣本來自正態分佈
- ### 獨立樣本t檢驗：兩組的總體方差相同
- ### 方差齊性檢驗

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## 檢驗方差齊性
- ### 如果方差齊性條件不滿足
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- ### 辦法一： `$t'$` 檢驗
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- ### 辦法二：非參數檢驗

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## 獨立樣本t檢驗步驟

- ### 建立檢驗假設，確定檢驗水準
  - #### `$H_0$`: `$\mu_1=\mu_2$` 兩種環境中運動者的心肌血流量的總體均數相同
  - #### `$H_1$`: `$\mu_1\ne\mu_2$` 兩種環境中運動者的心肌血流量的總體均數不同
  - #### `$\alpha=0.05$`  
- ### 計算檢驗統計量 `$$T=-7.579\sim t(15)$$`

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## 【續】

- ### 計算P值，做出結論
  - #### P=0.000小於0.05，在0.05的檢驗水平下，拒絕原假設，接受備擇假設
  - #### 結論：兩種環境中運動者的心肌血流量的總體均數不同，正常組小於低氧組

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###【例】兩組小白鼠分別飼以高蛋白和低蛋白飼料，4週後記錄小白鼠體重增加量(g)如下表所示，問兩組動物體重增加量的均數是否相等。

<img src="fig/fig06.png" width="75%" style="display: block; margin: auto;" />
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## 獨立樣本 `$t'$` 檢驗步驟

- ### 建立檢驗假設，確定檢驗水準
  - #### `$H_0$`: `$\mu_1=\mu_2$` 即兩種飼料小白鼠增重總體均數相同
  - #### `$H_1$`: `$\mu_1\ne\mu_2$` 即兩種飼料小白鼠增重總體均數不同
  - #### `$\alpha=0.05$`  
- ### 計算檢驗統計量 `$$T’=7.017\sim t(14.688)$$`

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## 【續】

- ### 計算P值，做出結論
  - #### P=0.000小於0.05，在0.05的檢驗水平下，拒絕原假設，接受備擇假設
  - #### 結論：兩種飼料小白鼠增重總體均數不同，高蛋白組體重增加量更多

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## 假設檢驗的兩類錯誤

- ### 假設檢驗的功效
- ### 影響假設檢驗功效的因素：樣本量

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#方差分析

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## 完全隨機設計的方差分析

- ### 完全隨機設計(completely randomized design):將實驗對象隨機分到不同處理組的單因素設計方法。
- ### 考察一個處理因素，通過對該因素不同水平組均值的比較，推斷它是否起作用。

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>###【例】在評價某藥物耐受性及安全性的I期臨床試驗中，對符合納入標準的30名健康自願者隨機分為3組每組10名，各組注射劑量分別為0.5U、1U、2U，觀察48小時部分凝血活酶時間（s）試問不同劑量的部分凝血活酶時間有無不同？

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### `$$SS_{縂變異}=SS_{組間}+SS_{組内}$$`
### `$$v_{縂變異}=v_{組間}+v_{組内}$$`
### `$$MS_{組間}=\frac{SS_{組間}}{v_{組間}}$$`
### `$$MS_{組内}=\frac{SS_{組内}}{v_{組内}}$$`
### `$$F=\frac{MS_{組閒}}{MS_{組内}}\sim F(k-1,n-k)$$`

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class: center

## F分佈

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## 完全隨機設計的方差分析的假設檢驗

- ### 建立檢驗假設，確定檢驗水準
  - #### `$H_0$`: `$\mu_1=\mu_2=\mu_3$` 
  - #### `$H_1$`: `$\mu_1,\mu_2,\mu_3不全相同$` 
  - #### `$\alpha=0.05$`  
- ### 計算方差分析表

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## 方差分析表

- ### 根據P值，做出結論
  - #### P小於0.05，在0.05的檢驗水平下，拒絕原假設，接受備擇假設
  - #### 結論：不同劑量的部分凝血活酶時間不全相同

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## 隨機區組設計方差設計

- ### 又稱配伍因素方差設計
- ### 先將受試對象按條件相同或相近組成m個區組(或稱配伍組)，每個區組中有k個受試對象，再將其隨機地分到k個處理組中

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### `$$SS_{縂變異}=SS_{處理}+SS_{區組}+SS_{誤差}$$`
### `$$v_{縂變異}=v_{處理}+v_{區組}+v_{誤差}$$`
### `$$MS_{處理}=\frac{SS_{處理}}{v_{處理}},F=\frac{MS_{處理}}{MS_{誤差}}$$`
### `$$MS_{區組}=\frac{SS_{區組}}{v_{區組}},F=\frac{MS_{區組}}{MS_{誤差}}$$`
### `$$MS_{誤差}=\frac{SS_{誤差}}{v_{誤差}}$$`

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class: center,middle
>###【例】為探討Rgl 對鎘誘導大鼠睾丸損傷的保護作用，研究者按照窩別把大鼠分成10個區組，然後將同一區組內的3隻大鼠隨機地分配到三個實驗組，分別給與不同處理，一定時間後測量大鼠的睾丸MT含量（μg/g），數據如下表所示。試比較三種不同處理對大鼠MT含量有無差別？

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<img src="fig/fig11.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />

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## 區組設計方差分析的假設檢驗

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## 方差分析表

- ### 根據P值，做出結論
  - #### P小於0.05，在0.05的檢驗水平下，拒絕原假設，接受備擇假設
  - #### 結論：三組大鼠MT含量的總體均值不全相同

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class: inverse, center, middle

#謝謝！